1986AIME類題

\(\large 有一個數列可以表示為\)

\( \large (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,.....)=(1,3,4,9,10,12,13,....)\)

\(\large=(3^0,3^1,3^1+3^0,3^2,3^2+3^0,3^+3^1,3^2+3^1+3^0,...)，求a_{103}=? \)

測試markdown

```flow st=>start: User login op=>operation: Operation cond=>condition: Successful Yes or No? e=>end: Into admin st->op->cond cond(yes)->e cond(no)->op ```

排列組合－安全乘載問題集錦

 渡船3艘,每船最多可載4人,6人同時過渡,方法有多少種?

基本變化：人數增加

６人增為７人

反面作法－用分組搭船的概念來列式

\( \large 3^7- \dfrac{7!}{7!}P^3_1- \dfrac{7!}{6!1!}P^3_2- \dfrac{7!}{5!2!}P^3_2- \dfrac{7!}{5!1!1!} \times  \dfrac{1}{2!}P^3_3=1890 \)

\(3^7-C^7_7\times3-C^7_6\times3\times2-C^7_5\times3\times2^2=1890\)

正面做法－用分組搭船的概念來列式

\(n(7)=n(4,3,0)+n(4,2,1)+n(3,3,1)+n(3,2,2)\)

\(\large =\dfrac{7!}{4!3!}P^3_1+\dfrac{7!}{4!2!1!}P^3_3+ \dfrac{7!}{3!3!1!}\times  \dfrac{1}{2!}\times P^3_2+ \dfrac{7!}{3!2!2!}\times \dfrac{1}{2!}\times P^3_3=1890\)

進階變化：增加奧客

A,B,C三艘不同的渡船，其中只有A船僅能搭載2人，另兩艘船則無限制。若某夫妻與朋友共5人欲同時渡河，且此夫妻一定要同船，則安全渡河的方法有幾種？  [武陵高中]

Ans.

全部過渡方法有3 X 1 X 3^3 = 81

不安全過渡之情形有下列4種

(1)3人做A船(含夫妻)C(3,1) X 2 X 2 = 12

(2)3人做A船(不含夫妻)C(3,3) X 2 = 2

(3)4人做A船(必含夫妻)C(3,2) X 2 = 6

(4)5人做A船(必含夫妻) = 1

所求 = 81 - ( 12 + 2 + 6 + 1 ) = 60

有不同的渡船3艘，每艘可乘4人，今有6人想渡河，規定甲船至少坐1人，則安全度船法有多少種?

A:640種

3^6 - 2^6 - C(6,6) x 1 - C(6,5) x 2 - C(6,5) x 2 = 640

三艘不同的渡船，每船最多載五人，試求七人渡河時，甲在第一艘船上且安全過渡有幾種方法

A:714種

有渡船三艘，每船最多可載4人，今有甲、乙、丙、丁、戊、己等六人同時過渡，但甲乙兩人不坐同一艘船，則此6人同時過渡的方法有幾種?

A:474種

渡輪三艘ABC，每船最多可載5人，今有7人過渡，但甲需乘A船，且乙不乘B船，有幾種安全過渡的方法？

答案：473種

全部的方式-危險的方式

1*2*3^5-1(七人共船A) -1(甲單獨在A, 其餘共船C) -1(乙單獨坐C，其餘坐A船)-5*1*2(甲乙除外的5人之1坐它船，其餘在A) =486-1-1-1-10=473

進階解法：考慮甲乙搭船的情況有２種

甲乙同在Ａ船，其餘５人有[img]https://upload.cc/i1/2021/02/23/s7Ahgq.gif[/img]

甲在Ａ船，乙在Ｃ船，其餘５人有[img]https://upload.cc/i1/2021/02/23/g9cEaK.gif[/img]

共232+241=473種

數字計數方式

 (1)由4528，4529，...，8293，含有0的數共幾個? 模式1

分段累計 (1)4528~4999有7+4×19=83 7指的是4530,4540,4550,4560,4570,4580,4590 19指的是每100個數有19個數字含0

(2)5000~7999有3×(1+3×9+3×9^2)=813 1指的是5000,3指的是5xxx,6xxx,7xxx 9指的是恰有2個0的數字的量 9^2指的是恰含1個0的數量 (3)8000到8293有100+2×19=138 100的是000~099中帶有0的數字的量 19指的是每100個數有19個數字含0 模式2 反面精簡扣除的話 (1)4528~8527有4×(1+3×9+3×9^2)=1084 4指的是4528~8527,有4000個數字 每100個數字有171個帶有0 (2)293到527有2×19+10+2=50 (1)-(2)得1084-50=1034 反面扣除的話 (1)4528~8527有 4×(1+3×9+3×9^2)=1084 (2)293到527有 2×19+10+2=50 (1)-(2)得1084-50=1034

106年學測的排列組合題

小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩 飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：

(甲)每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
(乙)連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食 

根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？ (1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84

正面+隔離

大咖牛排加飯2×2!×2!×(3+3)=48

大咖牛排加麵3!/2!×2!×2=12

48+12=60

比大小 \( 3^\pi和\pi^3 \)

\( \because  \log3^\pi=\pi \times \log3 \approx 3.14 \times 0.4771 =1.498294 \)

\( \log  \frac{22}{7}^3=3 \times (\log2+\log11-\log7) \)

\( \approx 3 \times (0.3010+1.0414-0.8451) =1.4919 \)

\( 又  \frac{22}{7} \approx 3.142857 > \pi \)

\(  \therefore 3^\pi  >   \frac{22}{7}^3  > \pi^3 \)

專題研究－『在兩分數間找最小分母的分數』題型 (不等式)

\(  1.試找出介於\frac{47}{245}和\frac{34}{177}之間且有最小分母的有理數 。\)

解法：連分數

作者：FunLearn

[url]http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=410[/url]

\(  2.介於\frac{39}{53}與\frac{41}{47}間的分數之間且有最小分母的有理數。\)

解法：

作者：連威翔

[url=http://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/123046423-找尋分母最小的分數]http://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/123046423-找尋分母最小的分數[/url]

\( 3.介於\frac{7}{16}與\frac{5}{11}間的分數之間且有最小分母的有理數 。\)

解法：皮克公式

作者：許志農教授

[url=http://math.ntnu.edu.tw/~maco/macobook/faoffa/f2.pdf]http://math.ntnu.edu.tw/~maco/macobook/faoffa/f2.pdf[/url]