106年學測的排列組合題

小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩 飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：

(甲)每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
(乙)連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食 

根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？ (1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84

正面+隔離

大咖牛排加飯2×2!×2!×(3+3)=48

大咖牛排加麵3!/2!×2!×2=12

48+12=60

比大小 \( 3^\pi和\pi^3 \)

\( \because  \log3^\pi=\pi \times \log3 \approx 3.14 \times 0.4771 =1.498294 \)

\( \log  \frac{22}{7}^3=3 \times (\log2+\log11-\log7) \)

\( \approx 3 \times (0.3010+1.0414-0.8451) =1.4919 \)

\( 又  \frac{22}{7} \approx 3.142857 > \pi \)

\(  \therefore 3^\pi  >   \frac{22}{7}^3  > \pi^3 \)

專題研究－『在兩分數間找最小分母的分數』題型 (不等式)

\(  1.試找出介於\frac{47}{245}和\frac{34}{177}之間且有最小分母的有理數 。\)

解法：連分數

作者：FunLearn

[url]http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=410[/url]

\(  2.介於\frac{39}{53}與\frac{41}{47}間的分數之間且有最小分母的有理數。\)

解法：

作者：連威翔

[url=http://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/123046423-找尋分母最小的分數]http://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/123046423-找尋分母最小的分數[/url]

\( 3.介於\frac{7}{16}與\frac{5}{11}間的分數之間且有最小分母的有理數 。\)

解法：皮克公式

作者：許志農教授

[url=http://math.ntnu.edu.tw/~maco/macobook/faoffa/f2.pdf]http://math.ntnu.edu.tw/~maco/macobook/faoffa/f2.pdf[/url]

猜帽上數第三輪

一教師在三名學生的帽子上分別寫上三個正整數，學生唯獨看不見自己帽子上的數字，
並告訴他們其中一個數是其餘二數之和，教師先問第一名學生知不知道自己帽子上的數，
學生答不知道，再問第二名學生，學生答不知道，再問第三名學生，學生答不知道，
教師又重新問第一名學生，學生答不知道，再問第二名學生，學生答不知道，
再問第三名學生，學生答知道，是78，
請問第一名學生，第二名學生帽子上的數字分別是多少 ?第一輪－－－－－－－－ 
Ａ（２，１，１） 
Ｂ（１，２，１）（２，３，１） 
Ｃ（１，１，２）（２，１，３） 
　（１，２，３）（２，３，５） 
第二輪－－－－－－－－ 
Ａ（３，２，１）（４，３，１） 
　（３，１，２）（４，１，３） 
　（５，２，３）（８，３，５） 
Ｂ（１，３，２）（２，５，３） 
　（１，４，３）（２，７，５） 
　（３，４，１）（４，５，１） 
　（３，５，２）（４，７，３） 
　（５，８，３）（８，１３，５） 
Ｃ（３，２，５）（４，３，７） 
　（３，１，４）（４，１，５） 
　（５，２，７）（８，３，１１） 
　（１，３，４）（２，５，７） 
　（１，４，５）（２，７，９） 
　（３，４，７）（４，５，９） 
　（３，５，８）（４，７，１１） 
　（５，８，１３）（８，１３，２１）

裡頭是７８的因數只有（５，８，１３），轉換成對應的正整數分別是３０，４８，７８。第三轮
A
（8，5，3）（12，7，5）
（7，4，3）（5，3，2）
（6，5，1）（5，4，1）
（10，7，3）（18，13，5）
（11，8，3）（7，5，2）
（10，3，7）（7，2，5）
（6，1，5）（14，3，11）
（9，2，7）（5，1，4）
（12，5，7）（16，7，9）
（9，4，5）（7，3，4）
（14，5，9）（11，4，7）
（18，7，11）（34，13，21）
（21，8，13）（13，5，8）
B
（4，11，7）（3，8，5）
（4，9，5）（8，19，11）
（5，12，7）（3，7，4）
（2，9，7）（2，11，9）
（1，6，5）（1，5，4）
（4，13，9）（3，10，7）
（4，15，11）（8，29，21）
（5，18，13）（3，11，8）
（8，11，3）（12，17，5）
（7，10，3）（5，7，2）
（6，7，1）（5，6，1）
（10，13，3）（18，23，5）
（11，14，3）（7，9，2）
（10，17，7）（6，11，5）
（14，25，11）（9，16，7）
（5，9，4）（12，19，7）
（16，25，9）（9，14，5）
（7，11，4）（14，23，9）
（11，18，7）（18，29，11）
（34，55，21）（21，34，13）
（7，12，5）（13，21，8）

武陵高中數理資優班參考試題

22.想在某個國家的大城市中建立航空網，其規則如下：
(1) 任何一個大城市都與不多於三個大城市有直達航班。
(2) 從任一個大城市到另一個大城市可找到一條直達或轉機一次的路徑。
試問：這個國家最多可能有幾個大城市？就你的答案畫出相應的航空網，並說明之。

http://www.wlsh.tyc.edu.tw/ezfiles/2/1002/img/9/pta_5538_6765880_04893.pdf
紅線是由Ａ城市出發的直達航班，紅線接藍線則是由Ａ點出發轉機一次的航班。也就是說，由任何一個城市出發，最多可以直達或是轉機一次到的城市就是９個。加上Ａ城市，剛好１０個，不會更多了！

排列組合常見排容錯解

\(\large 將八個人排成一列其中甲至少與乙或丙一人相鄰的排法有幾種?\)

\(\large 偽解：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙丙相鄰\)

\(\large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×3!=15840\)

\(\large 乍看之下，這個做法沒有問題\)

\(\large 但是和正解一比較，就能看出錯誤\)

\(\large 正面解法：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙相鄰且甲丙相鄰\)

\(\large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×2!=18720\)

\(\large 反面解法：全部-甲乙丙均不相鄰-乙丙相鄰且不和甲相鄰\)

\(\large 算式：=8!-5!×6×5×4-5!×6×5×2!=18720\)

將住宿生10名分配於A,B,C三室依4,3,3人居住，求同住、不同住的機率

某校將住宿生10名分配於A,B,C三室居住，A室4人，B,C室各3人，則：
(1)甲乙同住A室之機率為________

參考詳解：`$ \color {red}{\large {\frac{C^{8}_{2}× C^{6}_{3}× C^{3}_{3}× \tfrac{1}{2!}× 2!}{C^{10}_{4}× C^{6}_{3}× C^{3}_{3}× \tfrac{1}{2!}× 2!}}}$`

(2)甲乙丙三人各住一室之機率為________

參考詳解：`$ \color {red}{\large {\frac{C^{7}_{3}\times C^{4}_{2}\times C^{2}_{2}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!\times 3!}{C^{10}_{4}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}}} $`

這樣採用分組分堆的教學方法只對心思縝密的學生有效，對其他的學生可能會有學習上的障礙

其實還有一種很簡便易懂的快速作法

就是將題目轉化成取球問題或者說是抽籤問題

某校將住宿生10名分配於A,B,C三室居住，A室4人，B,C室各3人，則：
(1)甲乙同住A室之機率為________

我們可以將題目轉化為學生住宿需抽籤(取球)決定

假設有紅，黃，綠３種色籤(球)，依序有4,3,3個，抽中同色者同室。

則甲乙同住A室之機率為=甲乙皆抽中紅籤(球)的機率`$\color {red}{=\large {\frac{4}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{2}{15}}}$`

檢驗一下答案

`$ \large {\frac{C^{8}_{2}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}{C^{10}_{4}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}}=\large {\frac{C_{2}^{8}}{C_{4}^{10}}}= \large{\frac{28}{210}}= \large {\frac{2}{15}}$`

兩者相同

(2)甲乙丙三人各住一室之機率＝甲乙丙三人皆抽中不同色球之機率

`$ \color {red}{=2\times \left [ \large {\frac{4}{10}\times \frac{3}{9}\times \frac{3}{8}+\frac{3}{10}\times \frac{4}{9}\times \frac{3}{8}+\frac{3}{10}\times \frac{3}{9}\times \frac{4}{8}} \right ]}$`

`$\color {red}{=2\times 3\times \dfrac{4\times 3\times 3}{10\times 9\times 8}=\dfrac{216}{720}=\dfrac{3}{10}}$`


檢驗一下答案

`$ \large {\frac{C^{7}_{3}\times C^{4}_{2}\times C^{2}_{2}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!\times 3!}{C^{10}_{4}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}}= \frac{\tfrac{7!}{3!2!2!}\times 3!}{\tfrac{10!}{4!3!3!}}= \large {\frac{1260}{4200}=\tfrac{3}{10}}$`

兩者相同