\( 若a,b,c皆為正實數，且a^2+b^2=c^2，求\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}的最小值=？ \)
\(參考解法：\)
2023年10月1日 星期日
2023年9月29日 星期五
強迫分解例題解說
\( 22.A+B+A×B=90,求(A+B)÷4的餘數等於多少?(A、B都為正整數) \)
\( 答：這一題要做\color{red}{強迫分解} \)
\( 原本左邊的式子A+B+AB是不能夠因式分解的 \)
\( 首先把A+AB提出公因式變成A(1+B)，這樣會產生一個因式(1+B) \)
\( 然後無中生有．在算式最後面增加一個常數項＋1\)
\( 左邊的式子會長這樣A+AB+B+1=A(1+B)+(B+1)，這樣就強迫左式產生公因式(B+1) \)
\( 接下來再提出公因式(B+1)，合併剩下的(A+1)，左式會變成(A+1)(B+1)，右式會變成90+1=91\)
\( 於是，最終會得到(A+1)(B+1)=91=7×13=1×91，(A,B)=(6,12)或(0,90)(不合) \)
\( 所以(A+B)÷4=18÷4=4....2，餘數為2 \)
三角比的好題
\( 在△ABC中；已知 \overline{BC}=10(1-\cos A)；若△ABC的外接圓半徑為3；則 \cos A= \)
\( 正弦定理 10(1-\cos A)=2R\sin A=6\sin A \)
\( 移項化簡 1-\cos A=\dfrac{3}{5}\sin A \)
\( 兩邊平方 1-2\cos A +\cos^2 A=\dfrac{9}{25}(1-\cos^2 A) \)
\( 移項整理 \dfrac{34}{25}\cos^2A-2\cos A+\dfrac{16}{25}=0 \)
\( 化成整式 17\cos^2A-25\cos A +8=0 \)
\( 十字交乘 \cos A=\dfrac{8}{17}或 1(不合) \)
百分等級好題目
\( \begin{aligned}2.&\text{ 若由小而大共 }n\text{ 個數,其第 }18、19\text{ 百分位數都是第 }k\text{ 個數，} \\ \text{求 }&k\text{ 的最大可能值为}\underline{17}，\text{此時}n=\underline{89};k\text{ 的次大可能值}\\\text{為}&\underline{16}，\text{此時}n=\underline{84}.\end{aligned} \)
\( k-1 <0.18n<0.19n \)
\( \dfrac{100k-100}{18} \)
\( k=18時，94\dfrac{8}{18}=\dfrac{1700}{18} \)
\( k=17時，88\dfrac{16}{18}=\dfrac{1600}{18} \)
\( k=16時，83\dfrac{6}{18}=\dfrac{1500}{18} \)
三項和平方公式的運用
\( \begin{aligned}3. & 若 x=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)，則 x^4-2x^2+48x= & \\ \end{aligned} \)
\( x^2=2+3+6+2\sqrt{6}-2\sqrt{12}-2\sqrt{18}=11+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}\color{red}({\sqrt{2}+\sqrt{3}}) 關鍵的一步\)
\( x^2=11+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}\color{red}{(x+\sqrt{6})} 化簡 x^2+1=2\sqrt{6}(1-x) \)
\( 平方 x^4-2x^2+1=24-48x+24x^2 \)
\( 移項 x^4-2x^2+48x=24x^2+24=24(12+2\sqrt{6}-2\sqrt{12}-2\sqrt{18})\)
\( =288+24\sqrt{6}-96\sqrt{3}-144\sqrt{2}\)
三角函數-110雄中
設四邊形 \( A B C D\) 四點共圓且直徑\( \overline{A C} \)長為 2 ，若\( \overline{A B}-\overline{A D}=\dfrac{\sqrt{7}}{2} 、 \overline{C D}+\overline{B C}=\dfrac{3}{2}\)，試求\( \overline{BD} \)之長
\(Ans：\sqrt{3}(110雄中) \)
設\( \overline{A D}=x，\overline{A B}=x+\dfrac{\sqrt{7}}{2}，\overline{B C}=y，\overline{C D}=\dfrac{3}{2}-y\)
\( \overline{A C}為直徑，可得(x+\dfrac{\sqrt{7}}{2})^2+(\dfrac{3}{2}-y)^2=x^2+y^2=4\)
\(化簡可得 \left\{\begin{matrix}1. & \sqrt{7}x-3y=-4 \\2. & x^2+y^2=4 \end{matrix}\right.\)
\( x= \dfrac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{8}，y=\dfrac{3+\sqrt{21}}{8} \)
\(最後由托勒密可得2\overline{BD}=3x+\sqrt{7}y=\dfrac{9\sqrt{3}-3\sqrt{7}}{8}+\dfrac{3\sqrt{7}+7\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}，\overline{BD}=\sqrt{3}\)
\(點評：這作法容易想到，但是計算量很大，計算過程數據不好看\)
訂閱：
文章 (Atom)