最小值發生於等腰直角三角形

 $若a,b,c皆為正實數，且a^2+b^2=c^2，求\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}的最小值=？$

$參考解法：$

左三角右算幾的特殊題型

 $若1+\cos^2(2x+3y-1)=\dfrac{x^2+y^2+2(x+1)(1-y)}{x-y+1}，求xy的最小值？$

$參考解法$

強迫分解例題解說

 

$22.A+B+A×B=90,求(A+B)÷4的餘數等於多少?(A、B都為正整數)$

$答：這一題要做\color{red}{強迫分解}$

$原本左邊的式子A+B+AB是不能夠因式分解的$

$首先把A+AB提出公因式變成A(1+B)，這樣會產生一個因式(1+B)$

$然後無中生有．在算式最後面增加一個常數項＋1$

$左邊的式子會長這樣A+AB+B+1=A(1+B)+(B+1)，這樣就強迫左式產生公因式(B+1)$

$接下來再提出公因式(B+1)，合併剩下的(A+1)，左式會變成(A+1)(B+1)，右式會變成90+1=91$

$於是，最終會得到(A+1)(B+1)=91=7×13=1×91，(A,B)=(6,12)或(0,90)(不合)$

$所以(A+B)÷4=18÷4=4....2，餘數為2$

三角比的好題

 

$在△ABC中；已知 \overline{BC}=10(1-\cos A)；若△ABC的外接圓半徑為3；則 \cos A=$

$正弦定理　　　　　10(1-\cos A)=2R\sin A=6\sin A$

$移項化簡　　　　　　　　　1-\cos A=\dfrac{3}{5}\sin A$

$兩邊平方　　　　 　1-2\cos A +\cos^2 A=\dfrac{9}{25}(1-\cos^2 A)$

$移項整理　　　\dfrac{34}{25}\cos^2A-2\cos A+\dfrac{16}{25}=0$

$化成整式　　　17\cos^2A-25\cos A +8=0$

$十字交乘　　　　　　　　　　　 \cos A=\dfrac{8}{17}或 1(不合)$

百分等級好題目

 $\begin{aligned}2.&\text{ 若由小而大共 }n\text{ 個數,其第 }18、19\text{ 百分位數都是第 }k\text{ 個數，}　\\　　 \text{求 }&k\text{ 的最大可能值为}\underline{17}，\text{此時}n=\underline{89};k\text{ 的次大可能值}\\\text{為}&\underline{16}，\text{此時}n=\underline{84}.\end{aligned}$

$k-1 <0.18n<0.19n$

$\dfrac{100k-100}{18}$

$k=18時，94\dfrac{8}{18}=\dfrac{1700}{18}$

$k=17時，88\dfrac{16}{18}=\dfrac{1600}{18}$

$k=16時，83\dfrac{6}{18}=\dfrac{1500}{18}$

三項和平方公式的運用

 

$\begin{aligned}3. 　& 若　x=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)，則　x^4-2x^2+48x= & \\ \end{aligned}$

$x^2=2+3+6+2\sqrt{6}-2\sqrt{12}-2\sqrt{18}=11+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}\color{red}({\sqrt{2}+\sqrt{3}}) 關鍵的一步$

$x^2=11+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}\color{red}{(x+\sqrt{6})} 　化簡　　 x^2+1=2\sqrt{6}(1-x)$

$平方　x^4-2x^2+1=24-48x+24x^2$

$移項　x^4-2x^2+48x=24x^2+24=24(12+2\sqrt{6}-2\sqrt{12}-2\sqrt{18})$

$=288+24\sqrt{6}-96\sqrt{3}-144\sqrt{2}$

三角函數-110雄中

設四邊形 $A B C D$ 四點共圓且直徑$\overline{A C}$長為 2 ，若$\overline{A B}-\overline{A D}=\dfrac{\sqrt{7}}{2} 、 \overline{C D}+\overline{B C}=\dfrac{3}{2}$，試求$\overline{BD}$之長

  $Ans：\sqrt{3}(110雄中)$ 

設$\overline{A D}=x，\overline{A B}=x+\dfrac{\sqrt{7}}{2}，\overline{B C}=y，\overline{C D}=\dfrac{3}{2}-y$

$\overline{A C}為直徑，可得(x+\dfrac{\sqrt{7}}{2})^2+(\dfrac{3}{2}-y)^2=x^2+y^2=4$

$化簡可得　\left\{\begin{matrix}1. & \sqrt{7}x-3y=-4 \\2. & x^2+y^2=4 \end{matrix}\right.$
 
$x= \dfrac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{8}，y=\dfrac{3+\sqrt{21}}{8}$

$最後由托勒密可得2\overline{BD}=3x+\sqrt{7}y=\dfrac{9\sqrt{3}-3\sqrt{7}}{8}+\dfrac{3\sqrt{7}+7\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}，\overline{BD}=\sqrt{3}$

$點評：這作法容易想到，但是計算量很大，計算過程數據不好看$