三角函數-110雄中

設四邊形 \( A B C D\) 四點共圓且直徑\( \overline{A C} \)長為 2 ，若\( \overline{A B}-\overline{A D}=\dfrac{\sqrt{7}}{2} 、 \overline{C D}+\overline{B C}=\dfrac{3}{2}\)，試求\( \overline{BD} \)之長

  \(Ans：\sqrt{3}(110雄中) \) 

設\( \overline{A D}=x，\overline{A B}=x+\dfrac{\sqrt{7}}{2}，\overline{B C}=y，\overline{C D}=\dfrac{3}{2}-y\)

\( \overline{A C}為直徑，可得(x+\dfrac{\sqrt{7}}{2})^2+(\dfrac{3}{2}-y)^2=x^2+y^2=4\)

\(化簡可得　\left\{\begin{matrix}1. & \sqrt{7}x-3y=-4 \\2. & x^2+y^2=4 \end{matrix}\right.\)
 
\( x= \dfrac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{8}，y=\dfrac{3+\sqrt{21}}{8} \)

\(最後由托勒密可得2\overline{BD}=3x+\sqrt{7}y=\dfrac{9\sqrt{3}-3\sqrt{7}}{8}+\dfrac{3\sqrt{7}+7\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}，\overline{BD}=\sqrt{3}\)

\(點評：這作法容易想到，但是計算量很大，計算過程數據不好看\)