f(x)根的重複與全部根之和(多項式與方程式)

設$f(x)$為五次實係數多項式，且每當$a$為方程式$f(x)=0$的一複數根時， $\cfrac{1}{a}$和 $1-a$也會是 $f(x)=0$的複數根。 若已知方程式$f(x)=0$的所有複數根皆相異，則方程式$f(x)$的所有複數根之和=?

一題少見的二次函數極值題

$\large 已知a<b，若二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方，試求$
$\LARGE \frac{a+b+c}{b-a}$ $\large 的最小值。$

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$\large ∵二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方~∴ax^{2}+bx+c≧0......第(1)式。$

$\large令$ $\LARGE \frac{a+b+c}{b-a}$  $\large =k，移項可得a+b+c=kb-ka$

$\large 整理得知 (k+1)a+(1-k)b+c=0......第(2)式$

$\large 比較兩式可得\begin{cases}  &  x^2=k+1  \\  &  x=1-k \end{cases}$

$\large 解聯立 (1-k)^2=k+1 \Rightarrow  1-2k+k^2=k+1 \Rightarrow k^2-3k=0  \Rightarrow k=0~or~3$

$\large ∵a<b，若二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方~∴開口朝上b>a>0且c≧0$

$\large 故a+b+c>0 \Rightarrow   k≠0，k=3$