一教師在三名學生的帽子上分別寫上三個正整數，學生唯獨看不見自己帽子上的數字，
並告訴他們其中一個數是其餘二數之和，教師先問第一名學生知不知道自己帽子上的數，
學生答不知道，再問第二名學生，學生答不知道，再問第三名學生，學生答不知道，
教師又重新問第一名學生，學生答不知道，再問第二名學生，學生答不知道，
再問第三名學生，學生答知道，是78，
請問第一名學生，第二名學生帽子上的數字分別是多少 ?第一輪－－－－－－－－
Ａ（２，１，１）
Ｂ（１，２，１）（２，３，１）
Ｃ（１，１，２）（２，１，３）
（１，２，３）（２，３，５）
第二輪－－－－－－－－
Ａ（３，２，１）（４，３，１）
（３，１，２）（４，１，３）
（５，２，３）（８，３，５）
Ｂ（１，３，２）（２，５，３）
（１，４，３）（２，７，５）
（３，４，１）（４，５，１）
（３，５，２）（４，７，３）
（５，８，３）（８，１３，５）
Ｃ（３，２，５）（４，３，７）
（３，１，４）（４，１，５）
（５，２，７）（８，３，１１）
（１，３，４）（２，５，７）
（１，４，５）（２，７，９）
（３，４，７）（４，５，９）
（３，５，８）（４，７，１１）
（５，８，１３）（８，１３，２１）
裡頭是７８的因數只有（５，８，１３），轉換成對應的正整數分別是３０，４８，７８。第三轮
A
（8，5，3）（12，7，5）
（7，4，3）（5，3，2）
（6，5，1）（5，4，1）
（10，7，3）（18，13，5）
（11，8，3）（7，5，2）
（10，3，7）（7，2，5）
（6，1，5）（14，3，11）
（9，2，7）（5，1，4）
（12，5，7）（16，7，9）
（9，4，5）（7，3，4）
（14，5，9）（11，4，7）
（18，7，11）（34，13，21）
（21，8，13）（13，5，8）
B
（4，11，7）（3，8，5）
（4，9，5）（8，19，11）
（5，12，7）（3，7，4）
（2，9，7）（2，11，9）
（1，6，5）（1，5，4）
（4，13，9）（3，10，7）
（4，15，11）（8，29，21）
（5，18，13）（3，11，8）
（8，11，3）（12，17，5）
（7，10，3）（5，7，2）
（6，7，1）（5，6，1）
（10，13，3）（18，23，5）
（11，14，3）（7，9，2）
（10，17，7）（6，11，5）
（14，25，11）（9，16，7）
（5，9，4）（12，19，7）
（16，25，9）（9，14，5）
（7，11，4）（14，23，9）
（11，18，7）（18，29，11）
（34，55，21）（21，34，13）
（7，12，5）（13，21，8）
2015年4月24日 星期五
武陵高中數理資優班參考試題
22.想在某個國家的大城市中建立航空網，其規則如下：
(1) 任何一個大城市都與不多於三個大城市有直達航班。
(2) 從任一個大城市到另一個大城市可找到一條直達或轉機一次的路徑。
試問：這個國家最多可能有幾個大城市？就你的答案畫出相應的航空網，並說明之。
http://www.wlsh.tyc.edu.tw/ezfiles/2/1002/img/9/pta_5538_6765880_04893.pdf
紅線是由Ａ城市出發的直達航班，紅線接藍線則是由Ａ點出發轉機一次的航班。也就是說，由任何一個城市出發，最多可以直達或是轉機一次到的城市就是９個。加上Ａ城市，剛好１０個，不會更多了！
(1) 任何一個大城市都與不多於三個大城市有直達航班。
(2) 從任一個大城市到另一個大城市可找到一條直達或轉機一次的路徑。
試問：這個國家最多可能有幾個大城市？就你的答案畫出相應的航空網，並說明之。
http://www.wlsh.tyc.edu.tw/ezfiles/2/1002/img/9/pta_5538_6765880_04893.pdf
紅線是由Ａ城市出發的直達航班，紅線接藍線則是由Ａ點出發轉機一次的航班。也就是說，由任何一個城市出發，最多可以直達或是轉機一次到的城市就是９個。加上Ａ城市，剛好１０個，不會更多了！
2015年4月19日 星期日
排列組合常見排容錯解
\(\large 將八個人排成一列其中甲至少與乙或丙一人相鄰的排法有幾種?\)
\(\large 偽解：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙丙相鄰\)
\(\large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×3!=15840\)
\(\large 乍看之下，這個做法沒有問題\)
\(\large 但是和正解一比較，就能看出錯誤\)
\(\large 正面解法：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙相鄰且甲丙相鄰\)
\(\large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×2!=18720\)
\(\large 反面解法：全部-甲乙丙均不相鄰-乙丙相鄰且不和甲相鄰\)
\(\large 算式：=8!-5!×6×5×4-5!×6×5×2!=18720\)
\(\large 偽解：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙丙相鄰\)
\(\large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×3!=15840\)
\(\large 乍看之下，這個做法沒有問題\)
\(\large 但是和正解一比較，就能看出錯誤\)
\(\large 正面解法：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙相鄰且甲丙相鄰\)
\(\large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×2!=18720\)
\(\large 反面解法：全部-甲乙丙均不相鄰-乙丙相鄰且不和甲相鄰\)
\(\large 算式：=8!-5!×6×5×4-5!×6×5×2!=18720\)
2014年4月26日 星期六
將住宿生10名分配於A,B,C三室依4,3,3人居住，求同住、不同住的機率
某校將住宿生10名分配於A,B,C三室居住，A室4人，B,C室各3人，則：
(1)甲乙同住A室之機率為________
參考詳解：`$ \color {red}{\large {\frac{C^{8}_{2}× C^{6}_{3}× C^{3}_{3}× \tfrac{1}{2!}× 2!}{C^{10}_{4}× C^{6}_{3}× C^{3}_{3}× \tfrac{1}{2!}× 2!}}}$`
(2)甲乙丙三人各住一室之機率為________
參考詳解：`$ \color {red}{\large {\frac{C^{7}_{3}\times C^{4}_{2}\times C^{2}_{2}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!\times 3!}{C^{10}_{4}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}}} $`
這樣採用分組分堆的教學方法只對心思縝密的學生有效，對其他的學生可能會有學習上的障礙
其實還有一種很簡便易懂的快速作法
就是將題目轉化成取球問題或者說是抽籤問題
某校將住宿生10名分配於A,B,C三室居住，A室4人，B,C室各3人，則：
(1)甲乙同住A室之機率為________
我們可以將題目轉化為學生住宿需抽籤(取球)決定
假設有紅，黃，綠３種色籤(球)，依序有4,3,3個，抽中同色者同室。
則甲乙同住A室之機率為=甲乙皆抽中紅籤(球)的機率`$\color {red}{=\large {\frac{4}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{2}{15}}}$`
檢驗一下答案
`$ \large {\frac{C^{8}_{2}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}{C^{10}_{4}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}}=\large {\frac{C_{2}^{8}}{C_{4}^{10}}}= \large{\frac{28}{210}}= \large {\frac{2}{15}}$`
兩者相同
(2)甲乙丙三人各住一室之機率＝甲乙丙三人皆抽中不同色球之機率
`$ \color {red}{=2\times \left [ \large {\frac{4}{10}\times \frac{3}{9}\times \frac{3}{8}+\frac{3}{10}\times \frac{4}{9}\times \frac{3}{8}+\frac{3}{10}\times \frac{3}{9}\times \frac{4}{8}} \right ]}$`
`$\color {red}{=2\times 3\times \dfrac{4\times 3\times 3}{10\times 9\times 8}=\dfrac{216}{720}=\dfrac{3}{10}}$`
檢驗一下答案
`$ \large {\frac{C^{7}_{3}\times C^{4}_{2}\times C^{2}_{2}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!\times 3!}{C^{10}_{4}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}}= \frac{\tfrac{7!}{3!2!2!}\times 3!}{\tfrac{10!}{4!3!3!}}= \large {\frac{1260}{4200}=\tfrac{3}{10}}$`
兩者相同
(1)甲乙同住A室之機率為________
參考詳解：`$ \color {red}{\large {\frac{C^{8}_{2}× C^{6}_{3}× C^{3}_{3}× \tfrac{1}{2!}× 2!}{C^{10}_{4}× C^{6}_{3}× C^{3}_{3}× \tfrac{1}{2!}× 2!}}}$`
(2)甲乙丙三人各住一室之機率為________
參考詳解：`$ \color {red}{\large {\frac{C^{7}_{3}\times C^{4}_{2}\times C^{2}_{2}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!\times 3!}{C^{10}_{4}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}}} $`
這樣採用分組分堆的教學方法只對心思縝密的學生有效，對其他的學生可能會有學習上的障礙
其實還有一種很簡便易懂的快速作法
就是將題目轉化成取球問題或者說是抽籤問題
某校將住宿生10名分配於A,B,C三室居住，A室4人，B,C室各3人，則：
(1)甲乙同住A室之機率為________
我們可以將題目轉化為學生住宿需抽籤(取球)決定
假設有紅，黃，綠３種色籤(球)，依序有4,3,3個，抽中同色者同室。
則甲乙同住A室之機率為=甲乙皆抽中紅籤(球)的機率`$\color {red}{=\large {\frac{4}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{2}{15}}}$`
檢驗一下答案
`$ \large {\frac{C^{8}_{2}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}{C^{10}_{4}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}}=\large {\frac{C_{2}^{8}}{C_{4}^{10}}}= \large{\frac{28}{210}}= \large {\frac{2}{15}}$`
兩者相同
(2)甲乙丙三人各住一室之機率＝甲乙丙三人皆抽中不同色球之機率
`$ \color {red}{=2\times \left [ \large {\frac{4}{10}\times \frac{3}{9}\times \frac{3}{8}+\frac{3}{10}\times \frac{4}{9}\times \frac{3}{8}+\frac{3}{10}\times \frac{3}{9}\times \frac{4}{8}} \right ]}$`
`$\color {red}{=2\times 3\times \dfrac{4\times 3\times 3}{10\times 9\times 8}=\dfrac{216}{720}=\dfrac{3}{10}}$`
檢驗一下答案
`$ \large {\frac{C^{7}_{3}\times C^{4}_{2}\times C^{2}_{2}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!\times 3!}{C^{10}_{4}\times C^{6}_{3}\times C^{3}_{3}\times \tfrac{1}{2!}\times 2!}}= \frac{\tfrac{7!}{3!2!2!}\times 3!}{\tfrac{10!}{4!3!3!}}= \large {\frac{1260}{4200}=\tfrac{3}{10}}$`
兩者相同
2014年4月19日 星期六
連續根式和的整數部分
\( a=\cfrac{1}{\sqrt{1}}+\cfrac{1}{\sqrt{4}}+\cfrac{1}{\sqrt{7}}+\cfrac{1}{\sqrt{10}}+...+\cfrac{1}{\sqrt{10000}} \)的整數部分
2013年12月8日 星期日
f(x)根的重複與全部根之和(多項式與方程式)
設\( f(x) \)為五次實係數多項式，且每當\( a \)為方程式\( f(x)=0 \)的一複數根時， \( \cfrac{1}{a}\)和 \( 1-a\)也會是 \( f(x)=0\)的複數根。 若已知方程式\( f(x)=0\)的所有複數根皆相異，則方程式\( f(x) \)的所有複數根之和=?
一題少見的二次函數極值題
\( \large 已知a<b，若二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方，試求\)
\( \LARGE \frac{a+b+c}{b-a}\) \( \large 的最小值。\)
用MathJax打題目的目的是為了測試搜尋功能是否能夠找到文章的國字內容，測試的結果是可以！
\( \large ∵二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方~∴ax^{2}+bx+c≧0......第(1)式。\)
\( \large令\) \( \LARGE \frac{a+b+c}{b-a}\) \( \large =k，移項可得a+b+c=kb-ka\)
\( \large 整理得知 (k+1)a+(1-k)b+c=0......第(2)式\)
\( \large 比較兩式可得\begin{cases}
& x^2=k+1 \\
& x=1-k
\end{cases}\)
\( \large 解聯立 (1-k)^2=k+1 \Rightarrow 1-2k+k^2=k+1 \Rightarrow k^2-3k=0 \Rightarrow k=0~or~3\)
\( \large ∵a<b，若二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方~∴開口朝上b>a>0且c≧0\)
\( \large 故a+b+c>0 \Rightarrow k≠0，k=3\)
\( \LARGE \frac{a+b+c}{b-a}\) \( \large 的最小值。\)
用MathJax打題目的目的是為了測試搜尋功能是否能夠找到文章的國字內容，測試的結果是可以！
\( \large ∵二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方~∴ax^{2}+bx+c≧0......第(1)式。\)
\( \large令\) \( \LARGE \frac{a+b+c}{b-a}\) \( \large =k，移項可得a+b+c=kb-ka\)
\( \large 整理得知 (k+1)a+(1-k)b+c=0......第(2)式\)
\( \large 比較兩式可得\begin{cases}
& x^2=k+1 \\
& x=1-k
\end{cases}\)
\( \large 解聯立 (1-k)^2=k+1 \Rightarrow 1-2k+k^2=k+1 \Rightarrow k^2-3k=0 \Rightarrow k=0~or~3\)
\( \large ∵a<b，若二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方~∴開口朝上b>a>0且c≧0\)
\( \large 故a+b+c>0 \Rightarrow k≠0，k=3\)
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