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2021年3月8日 星期一

孫龐鬥智1

 這是2004年6月29日胡謅的一題難題,今天心血來潮google了一下,遺毒不少....


相傳這是1972年,銀雀山漢墓竹簡出土,孫臏兵法重見天日時的部
分內容。

話說鬼谷子有2個聰明絕頂的門徒,一個叫孫賓(後來改名孫臏),
另一個叫龐涓。

有一天鬼谷子對他們2個人說:『齊有二童,年歲未明,相加曰甲,相
乘曰乙,汝可之否?』
(齊國有2個小孩子,不知道幾歲,只知道加起來的年紀是甲,相乘的
年紀是乙,那你們知不知道他們幾歲?)

龐涓曰:『無所不盡,有所不足,莫知是也。』
(不知道的東西太多,知道的條件太少,簡單講:不知啦!)

孫賓合(答)曰:『願聞其詳。』(這不用翻了吧?)

鬼谷子:『附耳過來。』(這也不用翻了吧?)

於是鬼谷子悄悄告訴了龐涓甲是多少,又悄悄告訴了孫臏乙是多少

龐涓想了一會兒便笑說:『涓雖不才,賓也未勝。』
(我雖然不會,但孫賓也不會比我厲害到哪去!)

此時,孫賓反而笑說:『毋令人知之,令人知矣。』
(你不說,我不知道答案,你這樣說,我反而知道答案了!)

龐涓嚇了一跳:『汝豈勝乎?有待一絲』
(怎能讓你這樣就獲勝了,等我想一下)

曰:『察其四者……可以計生矣。』
(觀察這4句對答,……就能想出答案了!)

那答案是多少呢?

MathJax快速範本-多項式長除法

$$ \begin{aligned}

\begin{array}{r}2x^3+5x^2+\enspace x\enspace-\enspace2       \\x^{2}-2x+5 ) \overline {2x^5+\enspace x^4+\enspace x^3+21x^2+  ax+\quad b}

\end{array}

\\ \underline{2x^{5}-4x^4+10x^3}\thinspace\quad         

\\5x^4-\enspace 9x^3+21x^2       

\\ \underline{5x^4-10x^3+25x^2}       

\\x^3-\enspace4x^2+\enspace ax    

\\ \underline{x^3-\enspace 2x^2+\enspace 5x}    

\\-2x^2+(a-5)x+ b\thinspace

\\ \underline{-2x^2+ 4x - 10}

\\ 0

\end{aligned} $$

MathJax快速範本-雜級數推導計算

 \( \Large 令 \sum_{k=1}^{8}[(2k+1)\cdot 2^{k}]=S \)

 \begin{equation}\begin{split}  &S=3×2^1+&5×2^2+7×2^3+......+17×2^8 \\  2&S= & 3×2^2+5×2^3+......+15×2^8+17×2^9 \\ \hline \\ (2)-(1) &S=17×2^9-&2×[2^2+2^3+......+2^8]-3×2^1 \\ &S=17×2^9-&2×(2^9-2^2)-6 \\ &S=15×2^9+&2 \end{split}\end{equation}

MathJax快速範本-輾轉相除法

\(設 f(x)=x^5-x^3+2x^2-2x-4,g(x)=x^4+x^3+x^2+3x+2,\\ h(x) 為f(x)與g(x)的最高公因式且最高次項係數為1,則h(1) 與 h(2)的乘積為? \) 方法很多,本題比較適合用輾轉相除法(當兩式次方相近時最好用)

\begin{array}{c|l|l|c} x & x^5+0x^4-x^3+2x^2-2x-4 & x^4+~x^3+x^2+3x+2 & -1\\    &  x^5+x^4+x^3+3x^2+2x &  x^4-0x^3+x^2+2x &  \\ \hline -1 & 0x^5-x^4-2x^3-x^2-4x-4 & 0x^4+x^3+0x^2+x+2 & -1 \\  & 0x^5-x^4-x^3-x^2-3x-2 & 0x^4+x^3+0x^2+x+2 & \\ \hline & 0x^5+0x^4-x^3+0x^2-x-2 & & \end{array} 

\( 故最高公因式為h(x)=x^{3}+x+2 \)

 \( 故h(1)× h(2)=(1+1+2)(8+2+2)=48 \)

 修改後的版本

\[\left. \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { + x} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { - 1} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \\ \end{gathered} \right|\left. \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^5}}&{ + 0{x^4}}&{ - {x^3}}&{ + 2{x^2}}&{ - 2x}&{ - 4} \\ {{x^5}}&{ + {x^4}}&{ + {x^3}}&{ + 3{x^2}}&{ + 2x}&{} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ - {x^4}}&{ - 2{x^3}}&{ - {x^2}}&{ - 4x}&{ - 4} \\ {}&{ - {x^4}}&{ - {x^3}}&{ - {x^2}}&{ - 3x}&{ - 2} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{ - {x^3}}&{ + 0{x^2}}&{ - x}&{ - 2} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} \\ \end{gathered} \right|\left| \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^4}}&{ + {x^3}}&{ + {x^2}}&{ + 3x}&{ + 2} \\ {{x^4}}&{ + 0{x^3}}&{ + {x^2}}&{ + 2x}&{} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{x^3}}&{ + 0{x^2}}&{ + x}&{ + 2} \\ {}&{{x^3}}&{ + 0{x^2}}&{ + x}&{ + 2} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{} \end{array} \\ \end{gathered} \right.\left| \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { - 1} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { - 1} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \\ \end{gathered} \right.\]

雙十字交乘語法範本

 \begin{align} 0x^4+{x^3} + 2\sqrt 3 {x^2} + 3x + \sqrt 3 -1 = 0 \\\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\\end{array} \require{cancel}\xcancel{    } \begin{array}{*{20}{c}} { + a} \\ { + 1} \end{array}\require{cancel}\xcancel{    }\begin{array}{*{20}{c}} { + 1} \\ {\sqrt 3 - 1} && \end{array} \\ \left\{ \begin{gathered} a + 0 + \sqrt 3 - 1 = 2\sqrt 3 \\ a(\sqrt 3 - 1) + 1 = 3 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow a = \sqrt 3 + 1 \\ (x + \sqrt 3 - 1)({x^2} + (\sqrt 3 + 1)x + 1) = 0 \\ \end{align}

也是一題規律題

\( \large 設正數數列<a_n>的前n項之和為b_n(例b_2=a_1+a_2),\)

\( \large 而數列<b_n>的前n項之積為c_n(例c_2=b_1b_2)\)

\( \large 若對於正整數n皆滿足b_n+c_n=1。則數列<\)\(\Large \frac{1}{a_n}\)\( \large >中最接近2014的數是?\)

1986AIME類題

\(\large 有一個數列可以表示為\)

\( \large (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,.....)=(1,3,4,9,10,12,13,....)\)

\(\large=(3^0,3^1,3^1+3^0,3^2,3^2+3^0,3^+3^1,3^2+3^1+3^0,...),求a_{103}=? \)