猜帽上數第三輪

一教師在三名學生的帽子上分別寫上三個正整數，學生唯獨看不見自己帽子上的數字，
並告訴他們其中一個數是其餘二數之和，教師先問第一名學生知不知道自己帽子上的數，
學生答不知道，再問第二名學生，學生答不知道，再問第三名學生，學生答不知道，
教師又重新問第一名學生，學生答不知道，再問第二名學生，學生答不知道，
再問第三名學生，學生答知道，是78，
請問第一名學生，第二名學生帽子上的數字分別是多少 ?第一輪－－－－－－－－ 
Ａ（２，１，１） 
Ｂ（１，２，１）（２，３，１） 
Ｃ（１，１，２）（２，１，３） 
　（１，２，３）（２，３，５） 
第二輪－－－－－－－－ 
Ａ（３，２，１）（４，３，１） 
　（３，１，２）（４，１，３） 
　（５，２，３）（８，３，５） 
Ｂ（１，３，２）（２，５，３） 
　（１，４，３）（２，７，５） 
　（３，４，１）（４，５，１） 
　（３，５，２）（４，７，３） 
　（５，８，３）（８，１３，５） 
Ｃ（３，２，５）（４，３，７） 
　（３，１，４）（４，１，５） 
　（５，２，７）（８，３，１１） 
　（１，３，４）（２，５，７） 
　（１，４，５）（２，７，９） 
　（３，４，７）（４，５，９） 
　（３，５，８）（４，７，１１） 
　（５，８，１３）（８，１３，２１）

裡頭是７８的因數只有（５，８，１３），轉換成對應的正整數分別是３０，４８，７８。第三轮
A
（8，5，3）（12，7，5）
（7，4，3）（5，3，2）
（6，5，1）（5，4，1）
（10，7，3）（18，13，5）
（11，8，3）（7，5，2）
（10，3，7）（7，2，5）
（6，1，5）（14，3，11）
（9，2，7）（5，1，4）
（12，5，7）（16，7，9）
（9，4，5）（7，3，4）
（14，5，9）（11，4，7）
（18，7，11）（34，13，21）
（21，8，13）（13，5，8）
B
（4，11，7）（3，8，5）
（4，9，5）（8，19，11）
（5，12，7）（3，7，4）
（2，9，7）（2，11，9）
（1，6，5）（1，5，4）
（4，13，9）（3，10，7）
（4，15，11）（8，29，21）
（5，18，13）（3，11，8）
（8，11，3）（12，17，5）
（7，10，3）（5，7，2）
（6，7，1）（5，6，1）
（10，13，3）（18，23，5）
（11，14，3）（7，9，2）
（10，17，7）（6，11，5）
（14，25，11）（9，16，7）
（5，9，4）（12，19，7）
（16，25，9）（9，14，5）
（7，11，4）（14，23，9）
（11，18，7）（18，29，11）
（34，55，21）（21，34，13）
（7，12，5）（13，21，8）

武陵高中數理資優班參考試題

22.想在某個國家的大城市中建立航空網，其規則如下：
(1) 任何一個大城市都與不多於三個大城市有直達航班。
(2) 從任一個大城市到另一個大城市可找到一條直達或轉機一次的路徑。
試問：這個國家最多可能有幾個大城市？就你的答案畫出相應的航空網，並說明之。

http://www.wlsh.tyc.edu.tw/ezfiles/2/1002/img/9/pta_5538_6765880_04893.pdf
紅線是由Ａ城市出發的直達航班，紅線接藍線則是由Ａ點出發轉機一次的航班。也就是說，由任何一個城市出發，最多可以直達或是轉機一次到的城市就是９個。加上Ａ城市，剛好１０個，不會更多了！

排列組合常見排容錯解

\(\large 將八個人排成一列其中甲至少與乙或丙一人相鄰的排法有幾種?\)

\(\large 偽解：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙丙相鄰\)

\(\large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×3!=15840\)

\(\large 乍看之下，這個做法沒有問題\)

\(\large 但是和正解一比較，就能看出錯誤\)

\(\large 正面解法：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙相鄰且甲丙相鄰\)

\(\large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×2!=18720\)

\(\large 反面解法：全部-甲乙丙均不相鄰-乙丙相鄰且不和甲相鄰\)

\(\large 算式：=8!-5!×6×5×4-5!×6×5×2!=18720\)