\( \large 設a-b=mn=1~9則 \left\{\begin{matrix}A=10a+b=11b+10mn \\ B=a+10b=11b+mn\end{matrix}\right.得A-B=9mn\)
\( \large 由輾轉相除法原理得知\)
\( \large gcd(A,B)可能是9mn,3mn,mn,...,其中9mn>3mn>mn,...\)
\( \large 若gcd(A,B)=9mn，B=11b+mn=9mnk(k為正整數),11b=mn(9k-1),k=5\)
\( \large 此時b=8,mn=2,a=10(不合);b=4,mn=1,a=5\)
\( \large 若gcd(A,B)=3mn，B=11b+mn=3mnk(k為正整數),11b=mn(3k-1),k=4\)
\( \large 此時b=mn,a=2mn<9,mn最大是4,A=84,B=48,gcd(A,B)=12\)
\( \large 其他情況最大公因數不會超過mn所以gcd(A,B)=12為最大\)
\( \large 將八個人排成一列其中甲至少與乙或丙一人相鄰的排法有幾種? \)
\( \large 偽解：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙丙相鄰 \)
\( \large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×3!=15840 \)
\( \large 乍看之下，這個做法沒有問題 \)
\( \large 但是和正解一比較，就能看出錯誤 \)
\( \large 正面解法：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙相鄰且甲丙相鄰 \)
\( \large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×2!=18720 \)
\( \large 反面解法：全部-甲乙丙均不相鄰-乙丙相鄰且不和甲相鄰 \)
\( \large 算式：=8!-5!×6×5×4-5!×6×5×2!=18720\) \( \large 看出錯誤了嗎? \)
相同的白球5顆，紅球2個，黑球1顆，8顆取7顆排列，有幾種？
正面作法：算式 \( \large \displaystyle \frac{7!}{5!2!}+\frac{7!}{5!}+\frac{7!}{4!2!} \)
等價做法：還是當成這八顆去排，但是拿掉最後一顆
算式：\( \large \displaystyle \frac{8!}{5!2!1!} \)
為何這個做法可以能夠等價於原始的８顆排列方法數?
原因是前七顆的排列方式確定後，第８顆因為只有一顆
所以最後排上去方法只有１種，就是拿還沒有排上去的那一顆去排。
甲、乙、丙、丁和戊坐在同一排。乙、丙和戊各講了三句話。
乙：有兩個人在我和丙之間。甲離丙最遠。我和戊相鄰。
丙：我和戊相鄰。我也和乙相鄰。有兩個人在我和甲之間。
戊：我離丙最遠。我和乙相鄰。有一個人在我和丁之間。 如果每個人的三句話中只有兩句是真話。請問：坐在正中位置的人是誰？
突破點在於 乙：我和戊相鄰。和戊：我和乙相鄰。這兩句話只會同時為真或是同時為假．
倘若同時為假，那麼丙：我和戊相鄰。會因為 戊：我離丙最遠
為真，而被認定是假．同樣的，丙：我也和乙相鄰。也會因為乙：有兩個人在我和丙之間為真，而被認定是假．此時，違反了每個人的三句話中只有兩句是真話的前提，於是 乙：我和戊相鄰。和戊：我和乙相鄰。必然都是真話．
在確認乙戊相鄰之後，那麼丙：我和戊相鄰。我也和乙相鄰。就不可能同時成立．因為同時成立的情況是丙在乙和戊之間．所以我們可以確認丙：有兩個人在我和甲之間。必然是對的．
同時也能確認
１．在甲和丙之間的那兩個人只能是乙和戊，那麼最中間的人就不會是甲，丙，丁．只可能是乙或戊．
２． 既然最中間的人不是丙，那麼乙：甲離丙最遠 和 戊：我離丙最遠 也不會同時成立．因為距離丙最遠的人只能有一個人．另一方面也可以確認 乙：有兩個人在 我和丙之間 必然是錯的．因為和丙相隔兩人的人數，只有１人這種可能．於是 乙：甲離丙最遠 為真 戊：我離丙最遠。 為假．
既然 戊：我離丙最遠。為假，那麼戊：有一個人在我和丁之間。必然為真，在確認（甲乙丙戊）四人連排的情況之下，丁只能在最左邊或是最右邊，於是確認戊在正中位置．
甲乙戊丙丁 這組符合
乙：有兩個人在我和丙之間（Ｘ）。甲離丙最遠（Ｏ）。我和戊相鄰。（Ｏ）
丙：我和戊相鄰（Ｏ）。我也和乙相鄰（Ｘ）。有兩個人在我和甲之間。（Ｏ）
戊：我離丙最遠。（Ｘ）我和乙相鄰。（Ｏ）有一個人在我和丁之間。（Ｏ）
丁丙戊乙甲 這組符合
乙：有兩個人在我和丙之間（Ｘ）。甲離丙最遠（Ｏ）。我和戊相鄰。（Ｏ）
丙：我和戊相鄰（Ｏ）。我也和乙相鄰（Ｘ）。有兩個人在我和甲之間。（Ｏ）
戊：我離丙最遠。（Ｘ）我和乙相鄰。（Ｏ）有一個人在我和丁之間。（Ｏ）
$$ 多項式x^3-8x^2+20x-17\\=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d \\ ， 求 a,b,c,d $$
$$ 方法一：用f(1),f(2),f(3),f(0)依序算出d,c,b,a $$
$$ 方法一：連續綜合除法-本質上和方法一相同 $$
$$ \begin{gathered} \left. {\underline {\, {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 8}&{ + 20}&{ - 17} \\ {}&{ + 1}&{ - 7}&{ + 13} \end{array}} \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { + 1} \end{array} \hfill \\ \left. {\underline {\, {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 7}&{ + 13} \\ {}&{ + 2}&{ - 10} \end{array}} \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}} { - 4} \\ { + 2} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} { \to d} \\ {} \end{array} \hfill \\ \left. {\underline {\, {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 5} \\ {}&{ + 3} \end{array}} \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}} { + 3} \\ { + 3} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} { \to c} \\ {} \end{array} \hfill \\ \left. {\underline {\, 1 \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&{ \to b} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} $$
小明參觀蜜蜂生態館，館內陳列一個蜂房的藝術品，它的每個蜂窩(beehive)是正六邊形(hexagon)，而且由六根火柴棒(matches sticks)圍成。若第一層有一個蜂窩，第二層有兩個蜂窩，...，第n層有n個蜂窩，如下圖所示:
試問一個n層的蜂房共用多少根火柴棒?
由上圖可以觀察出遞迴式 \begin{cases}a_1=6 \\ a_{n+1}-a_n=\color {red}{3(n+1+1)=3n+6} \end{cases}
使用遞迴累加法
\begin{align} a_n-a_{n-1}&=3(n-1)+6 \\ a_{n-1}-a_{n-2}&=3(n-2)+6 \\ & \vdots \\ & \vdots \\ a_2-a_1 & =3×1+6 \\ \hline \\ a_n-a_1 & =3\sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}6 \\ a_n &=3×\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}+6(n-1)+6 \\ & =\frac{3n(n-1)} {2}+6n \\ & =\frac{3n(n+3)} {2} \end{align}
方法二：直接觀察規律 會發現每一層是等差數列，公差是３
\begin{align} a_1 &=3×2 \\ a_2 &=3×(2+3) \\ a_3 &=3×(2+3+4) \\ & \vdots \\ & \vdots \\ 推測 a_n & =3×[2+3+4+...+(n+1)] \\ & =3\sum_{k=1}^{n}(k+1) \\ & =3\sum_{k=1}^{n}k+3\sum_{k=1}^{n}1 \\ &=3×\frac{n(n+1)}{2}+6n \\ & =\frac{3n(n+3)} {2} \end{align}
\( \large {將1～12這12個數平分成3組，再依序做下列三步驟：\\ (1)每組都取出最大的數\\ (2)每組再取出剩下的最大數\\ (3)從剩下的6個數中，取出最大數\\ 則最後剩下的5個數中，不包含7的情況有幾種？(5125)\\ \\ 正面做法\\ (1)7在第一輪被選取\Rightarrow 7為某組最大者\\ \underset { 從1到 6中選3個跟7一組 }{ { C }_{ 3 }^{ 6 }\times } \underset { 剩下的8個任意分成2組 }{ { C }_{ 4 }^{ 8 }\div 2 } =20\times 35=700\\ \\ (2)7在第二輪被選取\Rightarrow 7為某組次大者\\ \underset { 從1到 6中選2個跟7一組\\ 從8到 12中選1個跟7一組 }{ { C }_{ 2 }^{ 6 }{ C }_{ 1 }^{ 5 } } \times \underset { 剩下的8個任意分成2組 }{ { C }_{ 4 }^{ 8 }\div 2 } =15\times 5\times 35=2625\\ \\ (3)7在第三輪被選取\Rightarrow 7為某組第三大者\\ \\ \underset { 從1到 6中選1個跟7一組\\\\ 再選2個排第2組\\\\ 其餘最後1組 }{ { C }_{ 1 }^{ 6 }{ C }_{ 2 }^{ 5 }{ C }_{ 3 }^{ 3 } } \times \underset { 從8到 12中選2個跟7一組\\\\ 再選2個排第2組\\\\ 其餘最後1組 }{ { C }_{ 2 }^{ 5 }{ C }_{ 2 }^{ 3 }{ C }_{ 1 }^{ 1 } } =60\times 30=1800\\ 由(1)到 (3)得知總共有700+2625+1800=5125} \)
這是2004年6月29日胡謅的一題難題，今天心血來潮google了一下，遺毒不少....
相傳這是1972年，銀雀山漢墓竹簡出土，孫臏兵法重見天日時的部
分內容。
話說鬼谷子有2個聰明絕頂的門徒,一個叫孫賓（後來改名孫臏）,
另一個叫龐涓。
有一天鬼谷子對他們2個人說：『齊有二童,年歲未明,相加曰甲,相
乘曰乙,汝可之否？』
（齊國有2個小孩子,不知道幾歲,只知道加起來的年紀是甲,相乘的
年紀是乙,那你們知不知道他們幾歲？）
龐涓曰：『無所不盡，有所不足，莫知是也。』
（不知道的東西太多,知道的條件太少,簡單講：不知啦！）
孫賓合（答）曰：『願聞其詳。』（這不用翻了吧？）
鬼谷子：『附耳過來。』（這也不用翻了吧？）
於是鬼谷子悄悄告訴了龐涓甲是多少,又悄悄告訴了孫臏乙是多少
龐涓想了一會兒便笑說：『涓雖不才,賓也未勝。』
（我雖然不會,但孫賓也不會比我厲害到哪去！）
此時,孫賓反而笑說：『毋令人知之,令人知矣。』
（你不說,我不知道答案,你這樣說,我反而知道答案了！）
龐涓嚇了一跳：『汝豈勝乎？有待一絲』
（怎能讓你這樣就獲勝了,等我想一下）
曰：『察其四者……可以計生矣。』
（觀察這4句對答,……就能想出答案了！）
那答案是多少呢？
\begin{array}{r}x+1\\x+1 ) \overline {x^2+2x+1}\\\underline{x^2+x}\hspace{2em}\\x+1\\\underline{x+1}\\0\\\end{array}
\( \Large 令 \sum_{k=1}^{8}[(2k+1)\cdot 2^{k}]=S \)
\begin{equation}\begin{split} &S=3×2^1+&5×2^2+7×2^3+......+17×2^8 \\ 2&S= & 3×2^2+5×2^3+......+15×2^8+17×2^9 \\ \hline \\ (2)-(1) &S=17×2^9-&2×[2^2+2^3+......+2^8]-3×2^1 \\ &S=17×2^9-&2×(2^9-2^2)-6 \\ &S=15×2^9+&2 \end{split}\end{equation}
\(設 f(x)=x^5-x^3+2x^2-2x-4，g(x)=x^4+x^3+x^2+3x+2，\\ h(x) 為f(x)與g(x)的最高公因式且最高次項係數為1，則h(1) 與 h(2)的乘積為? \) 方法很多，本題比較適合用輾轉相除法(當兩式次方相近時最好用)
\begin{array}{c|l|l|c} x & x^5+0x^4-x^3+2x^2-2x-4 & x^4+~x^3+x^2+3x+2 & -1\\ & x^5+x^4+x^3+3x^2+2x & x^4-0x^3+x^2+2x & \\ \hline -1 & 0x^5-x^4-2x^3-x^2-4x-4 & 0x^4+x^3+0x^2+x+2 & -1 \\ & 0x^5-x^4-x^3-x^2-3x-2 & 0x^4+x^3+0x^2+x+2 & \\ \hline & 0x^5+0x^4-x^3+0x^2-x-2 & & \end{array}
\( 故最高公因式為h(x)=x^{3}+x+2 \)
\( 故h(1)× h(2)=(1+1+2)(8+2+2)=48 \)
修改後的版本
\[\left. \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { + x} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { - 1} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \\ \end{gathered} \right|\left. \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^5}}&{ + 0{x^4}}&{ - {x^3}}&{ + 2{x^2}}&{ - 2x}&{ - 4} \\ {{x^5}}&{ + {x^4}}&{ + {x^3}}&{ + 3{x^2}}&{ + 2x}&{} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ - {x^4}}&{ - 2{x^3}}&{ - {x^2}}&{ - 4x}&{ - 4} \\ {}&{ - {x^4}}&{ - {x^3}}&{ - {x^2}}&{ - 3x}&{ - 2} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{ - {x^3}}&{ + 0{x^2}}&{ - x}&{ - 2} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} \\ \end{gathered} \right|\left| \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^4}}&{ + {x^3}}&{ + {x^2}}&{ + 3x}&{ + 2} \\ {{x^4}}&{ + 0{x^3}}&{ + {x^2}}&{ + 2x}&{} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{x^3}}&{ + 0{x^2}}&{ + x}&{ + 2} \\ {}&{{x^3}}&{ + 0{x^2}}&{ + x}&{ + 2} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{} \end{array} \\ \end{gathered} \right.\left| \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { - 1} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { - 1} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \\ \end{gathered} \right.\]
\begin{align} 0x^4+{x^3} + 2\sqrt 3 {x^2} + 3x + \sqrt 3 -1 = 0 \\\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\\end{array} \require{cancel}\xcancel{ } \begin{array}{*{20}{c}} { + a} \\ { + 1} \end{array}\require{cancel}\xcancel{ }\begin{array}{*{20}{c}} { + 1} \\ {\sqrt 3 - 1} && \end{array} \\ \left\{ \begin{gathered} a + 0 + \sqrt 3 - 1 = 2\sqrt 3 \\ a(\sqrt 3 - 1) + 1 = 3 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow a = \sqrt 3 + 1 \\ (x + \sqrt 3 - 1)({x^2} + (\sqrt 3 + 1)x + 1) = 0 \\ \end{align}
\(\large 有一個數列可以表示為\)
\( \large (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,.....)=(1,3,4,9,10,12,13,....)\)
\(\large=(3^0,3^1,3^1+3^0,3^2,3^2+3^0,3^+3^1,3^2+3^1+3^0,...)，求a_{103}=? \)
渡船3艘,每船最多可載4人,6人同時過渡,方法有多少種?
基本變化：人數增加
６人增為７人
反面作法－用分組搭船的概念來列式
\( \large 3^7- \dfrac{7!}{7!}P^3_1- \dfrac{7!}{6!1!}P^3_2- \dfrac{7!}{5!2!}P^3_2- \dfrac{7!}{5!1!1!} \times \dfrac{1}{2!}P^3_3=1890 \)
\(3^7-C^7_7\times3-C^7_6\times3\times2-C^7_5\times3\times2^2=1890\)
正面做法－用分組搭船的概念來列式
\(n(7)=n(4,3,0)+n(4,2,1)+n(3,3,1)+n(3,2,2)\)
\(\large =\dfrac{7!}{4!3!}P^3_1+\dfrac{7!}{4!2!1!}P^3_3+ \dfrac{7!}{3!3!1!}\times \dfrac{1}{2!}\times P^3_2+ \dfrac{7!}{3!2!2!}\times \dfrac{1}{2!}\times P^3_3=1890\)
進階變化：增加奧客
A,B,C三艘不同的渡船，其中只有A船僅能搭載2人，另兩艘船則無限制。若某夫妻與朋友共5人欲同時渡河，且此夫妻一定要同船，則安全渡河的方法有幾種？ [武陵高中]
Ans.
全部過渡方法有3 X 1 X 3^3 = 81
不安全過渡之情形有下列4種
(1)3人做A船(含夫妻)C(3,1) X 2 X 2 = 12
(2)3人做A船(不含夫妻)C(3,3) X 2 = 2
(3)4人做A船(必含夫妻)C(3,2) X 2 = 6
(4)5人做A船(必含夫妻) = 1
所求 = 81 - ( 12 + 2 + 6 + 1 ) = 60
有不同的渡船3艘，每艘可乘4人，今有6人想渡河，規定甲船至少坐1人，則安全度船法有多少種?
A:640種
3^6 - 2^6 - C(6,6) x 1 - C(6,5) x 2 - C(6,5) x 2 = 640
三艘不同的渡船，每船最多載五人，試求七人渡河時，甲在第一艘船上且安全過渡有幾種方法
A:714種
有渡船三艘，每船最多可載4人，今有甲、乙、丙、丁、戊、己等六人同時過渡，但甲乙兩人不坐同一艘船，則此6人同時過渡的方法有幾種?
A:474種
渡輪三艘ABC，每船最多可載5人，今有7人過渡，但甲需乘A船，且乙不乘B船，有幾種安全過渡的方法？
答案：473種
全部的方式-危險的方式
1*2*3^5-1(七人共船A) -1(甲單獨在A, 其餘共船C) -1(乙單獨坐C，其餘坐A船)-5*1*2(甲乙除外的5人之1坐它船，其餘在A) =486-1-1-1-10=473
進階解法：考慮甲乙搭船的情況有２種
甲乙同在Ａ船，其餘５人有[img]https://upload.cc/i1/2021/02/23/s7Ahgq.gif[/img]
甲在Ａ船，乙在Ｃ船，其餘５人有[img]https://upload.cc/i1/2021/02/23/g9cEaK.gif[/img]
共232+241=473種
(1)由4528，4529，...，8293，含有0的數共幾個? 模式1
分段累計 (1)4528~4999有7+4×19=83 7指的是4530,4540,4550,4560,4570,4580,4590 19指的是每100個數有19個數字含0
(2)5000~7999有3×(1+3×9+3×9^2)=813 1指的是5000,3指的是5xxx,6xxx,7xxx 9指的是恰有2個0的數字的量 9^2指的是恰含1個0的數量 (3)8000到8293有100+2×19=138 100的是000~099中帶有0的數字的量 19指的是每100個數有19個數字含0 模式2 反面精簡扣除的話 (1)4528~8527有4×(1+3×9+3×9^2)=1084 4指的是4528~8527,有4000個數字 每100個數字有171個帶有0 (2)293到527有2×19+10+2=50 (1)-(2)得1084-50=1034 反面扣除的話 (1)4528~8527有 4×(1+3×9+3×9^2)=1084 (2)293到527有 2×19+10+2=50 (1)-(2)得1084-50=1034
