f(x)根的重複與全部根之和(多項式與方程式)

設\( f(x) \)為五次實係數多項式，且每當\( a \)為方程式\( f(x)=0 \)的一複數根時， \(  \cfrac{1}{a}\)和 \( 1-a\)也會是 \(  f(x)=0\)的複數根。 若已知方程式\( f(x)=0\)的所有複數根皆相異，則方程式\( f(x) \)的所有複數根之和=?

一題少見的二次函數極值題

\( \large 已知a<b，若二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方，試求\)
\( \LARGE \frac{a+b+c}{b-a}\) \( \large 的最小值。\)

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\( \large ∵二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方~∴ax^{2}+bx+c≧0......第(1)式。\)

\( \large令\) \( \LARGE \frac{a+b+c}{b-a}\)  \( \large =k，移項可得a+b+c=kb-ka\)

\( \large 整理得知 (k+1)a+(1-k)b+c=0......第(2)式\)

\( \large 比較兩式可得\begin{cases}
 &  x^2=k+1  \\
 &  x=1-k
\end{cases}\)

\( \large 解聯立 (1-k)^2=k+1 \Rightarrow  1-2k+k^2=k+1 \Rightarrow k^2-3k=0  \Rightarrow k=0~or~3\)

\( \large ∵a<b，若二次函數y=ax^{2}+bx+c不在x軸的下方~∴開口朝上b>a>0且c≧0\)

\( \large 故a+b+c>0 \Rightarrow   k≠0，k=3\)