圖論題110中一中科學班

第 $13$ 屆科學班有 $10$ 位學生一起報名參加 $2022$ 年亞太數學奧林匹亞競賽初選考試。已知每人都答對了三題，且任何兩人所答對的問題，都至少有一題相同，則這 $10$ 位學生當中，答對人數最多的那一道問題最少有________人答對

把答對 $3$ 題的學生當成三角形， $3$ 個邊就是答對的題目．

而要滿足題意的條件和最少要求的圖形只能是空間中的正四面體．

也就是說題目就是剛好 $6$ 題，所以理論上最少答對人數是$3\times 10 ÷6=5$

接下來只要找到符合 $5$ 個的例子即可

以 $a,b,c,d,e,f$ 表示六道題目

　１　２　３　４　５　６　７　８　９１０
　ａ　ａ　　　ａ　ａ　　　　　ａ　　　　　　　　　　

　ｂ　ｂ　ｂ　　　　　ｂ　　　　　ｂ　　　　　　　　

　ｃ　　　ｃ　ｃ　　　　　ｃ　　　　　ｃ　　　　　　

　　　ｄ　　　　　ｄ　ｄ　　　ｄ　　　ｄ

　　　　　ｅ　　　　　ｅ　ｅ　　　ｅ　ｅ
　　　　　　　ｆ　ｆ　　　ｆ　ｆ　ｆ　

１１０年中一中科學班計算證明題

 $\large 設a-b=mn=1~9則 \left\{\begin{matrix}A=10a+b=11b+10mn  \\ B=a+10b=11b+mn\end{matrix}\right.得A-B=9mn$

$\large 由輾轉相除法原理得知$

$\large gcd(A,B)可能是9mn,3mn,mn,...,其中9mn>3mn>mn,...$

$\large 若gcd(A,B)=9mn，B=11b+mn=9mnk(k為正整數),11b=mn(9k-1),k=5$

$\large 此時b=8,mn=2,a=10(不合);b=4,mn=1,a=5$

$\large 若gcd(A,B)=3mn，B=11b+mn=3mnk(k為正整數),11b=mn(3k-1),k=4$

$\large 此時b=mn,a=2mn<9,mn最大是4,A=84,B=48,gcd(A,B)=12$

$\large 其他情況最大公因數不會超過mn所以gcd(A,B)=12為最大$

錯解分析-將八個人排成一列其中甲至少與乙或丙一人相鄰的排法有幾種?

$\large 將八個人排成一列其中甲至少與乙或丙一人相鄰的排法有幾種?$

$\large 偽解：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙丙相鄰$

$\large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×3!=15840$

$\large 乍看之下，這個做法沒有問題$

 $\large 但是和正解一比較，就能看出錯誤$

 $\large 正面解法：甲乙相鄰+甲丙相鄰-甲乙相鄰且甲丙相鄰$

 $\large 算式：=7!×2!+7!×2!-6!×2!=18720$

 $\large 反面解法：全部-甲乙丙均不相鄰-乙丙相鄰且不和甲相鄰$

 $\large 算式：=8!-5!×6×5×4-5!×6×5×2!=18720$ $\large 看出錯誤了嗎?$

不盡相異物不全取排列的題型

相同的白球5顆，紅球2個，黑球1顆，8顆取7顆排列，有幾種？

正面作法：算式 $\large \displaystyle \frac{7!}{5!2!}+\frac{7!}{5!}+\frac{7!}{4!2!}$

等價做法：還是當成這八顆去排，但是拿掉最後一顆

算式：$\large \displaystyle \frac{8!}{5!2!1!}$

為何這個做法可以能夠等價於原始的８顆排列方法數?

原因是前七顆的排列方式確定後，第８顆因為只有一顆

所以最後排上去方法只有１種，就是拿還沒有排上去的那一顆去排。

坐在正中位置的人是誰？

 甲、乙、丙、丁和戊坐在同一排。乙、丙和戊各講了三句話。

乙：有兩個人在我和丙之間。甲離丙最遠。我和戊相鄰。

丙：我和戊相鄰。我也和乙相鄰。有兩個人在我和甲之間。

戊：我離丙最遠。我和乙相鄰。有一個人在我和丁之間。 如果每個人的三句話中只有兩句是真話。請問：坐在正中位置的人是誰？

突破點在於　乙：我和戊相鄰。和戊：我和乙相鄰。這兩句話只會同時為真或是同時為假．

倘若同時為假，那麼丙：我和戊相鄰。會因為　戊：我離丙最遠
為真，而被認定是假．同樣的，丙：我也和乙相鄰。也會因為乙：有兩個人在我和丙之間為真，而被認定是假．此時，違反了每個人的三句話中只有兩句是真話的前提，於是　乙：我和戊相鄰。和戊：我和乙相鄰。必然都是真話．

在確認乙戊相鄰之後，那麼丙：我和戊相鄰。我也和乙相鄰。就不可能同時成立．因為同時成立的情況是丙在乙和戊之間．所以我們可以確認丙：有兩個人在我和甲之間。必然是對的．

同時也能確認

１．在甲和丙之間的那兩個人只能是乙和戊，那麼最中間的人就不會是甲，丙，丁．只可能是乙或戊．

２． 既然最中間的人不是丙，那麼乙：甲離丙最遠　和　戊：我離丙最遠　也不會同時成立．因為距離丙最遠的人只能有一個人．另一方面也可以確認　乙：有兩個人在 我和丙之間　必然是錯的．因為和丙相隔兩人的人數，只有１人這種可能．於是　乙：甲離丙最遠　為真　戊：我離丙最遠。　為假．

既然　戊：我離丙最遠。為假，那麼戊：有一個人在我和丁之間。必然為真，在確認（甲乙丙戊）四人連排的情況之下，丁只能在最左邊或是最右邊，於是確認戊在正中位置．

甲乙戊丙丁　這組符合

乙：有兩個人在我和丙之間（Ｘ）。甲離丙最遠（Ｏ）。我和戊相鄰。（Ｏ）
丙：我和戊相鄰（Ｏ）。我也和乙相鄰（Ｘ）。有兩個人在我和甲之間。（Ｏ）
戊：我離丙最遠。（Ｘ）我和乙相鄰。（Ｏ）有一個人在我和丁之間。（Ｏ）

丁丙戊乙甲　這組符合

乙：有兩個人在我和丙之間（Ｘ）。甲離丙最遠（Ｏ）。我和戊相鄰。（Ｏ）
丙：我和戊相鄰（Ｏ）。我也和乙相鄰（Ｘ）。有兩個人在我和甲之間。（Ｏ）
戊：我離丙最遠。（Ｘ）我和乙相鄰。（Ｏ）有一個人在我和丁之間。（Ｏ）

MathJax快速範本-連續綜合除法

  $$多項式x^3-8x^2+20x-17\\=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d \\ ， 求 a,b,c,d$$

 

$$方法一：用f(1),f(2),f(3),f(0)依序算出d,c,b,a$$

 

$$方法一：連續綜合除法-本質上和方法一相同$$

 

 

$$\begin{gathered}  \left. {\underline {\,  {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 8}&{ + 20}&{ - 17} \\   {}&{ + 1}&{ - 7}&{ + 13} \end{array}} \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}}  {} \\   { + 1} \end{array} \hfill \\  \left. {\underline {\,  {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 7}&{ + 13} \\   {}&{ + 2}&{ - 10} \end{array}} \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}}  { - 4} \\   { + 2} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}}  { \to d} \\   {} \end{array} \hfill \\  \left. {\underline {\,  {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 5} \\   {}&{ + 3} \end{array}} \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}}  { + 3} \\   { + 3} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}}  { \to c} \\   {} \end{array} \hfill \\  \left. {\underline {\,  1 \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&{ \to b} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$$

MathJax快速範本-遞迴累加法

小明參觀蜜蜂生態館，館內陳列一個蜂房的藝術品，它的每個蜂窩(beehive)是正六邊形(hexagon)，而且由六根火柴棒(matches sticks)圍成。若第一層有一個蜂窩，第二層有兩個蜂窩，...，第n層有n個蜂窩，如下圖所示:

 

 

試問一個n層的蜂房共用多少根火柴棒?

 

 由上圖可以觀察出遞迴式 $$\begin{cases}a_1=6  \\ a_{n+1}-a_n=\color {red}{3(n+1+1)=3n+6} \end{cases}$$

 

 使用遞迴累加法

 

  $$\begin{align}  a_n-a_{n-1}&=3(n-1)+6 \\  a_{n-1}-a_{n-2}&=3(n-2)+6 \\ & \vdots  \\ & \vdots \\   a_2-a_1 & =3×1+6 \\ \hline \\ a_n-a_1 & =3\sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}6 \\  a_n &=3×\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}+6(n-1)+6 \\ & =\frac{3n(n-1)} {2}+6n \\ & =\frac{3n(n+3)} {2} \end{align}$$

方法二：直接觀察規律 會發現每一層是等差數列，公差是３

 

 

 

  $$\begin{align}  a_1 &=3×2 \\  a_2 &=3×(2+3) \\  a_3 &=3×(2+3+4) \\ & \vdots  \\ & \vdots \\  推測 a_n & =3×[2+3+4+...+(n+1)] \\  & =3\sum_{k=1}^{n}(k+1) \\  & =3\sum_{k=1}^{n}k+3\sum_{k=1}^{n}1  \\  &=3×\frac{n(n+1)}{2}+6n  \\ & =\frac{3n(n+3)} {2} \end{align}$$

MathJax快速範本-分堆分組討論

$\large {將1～12這12個數平分成3組，再依序做下列三步驟：\\ (1)每組都取出最大的數\\ (2)每組再取出剩下的最大數\\ (3)從剩下的6個數中，取出最大數\\ 則最後剩下的5個數中，不包含7的情況有幾種？(5125)\\ \\ 正面做法\\ (1)7在第一輪被選取\Rightarrow 7為某組最大者\\ \underset { 從1到 6中選3個跟7一組 }{ { C }_{ 3 }^{ 6 }\times  } \underset { 剩下的8個任意分成2組 }{ { C }_{ 4 }^{ 8 }\div 2 } =20\times 35=700\\ \\ (2)7在第二輪被選取\Rightarrow 7為某組次大者\\ \underset { 從1到 6中選2個跟7一組\\ 從8到 12中選1個跟7一組 }{ { C }_{ 2 }^{ 6 }{ C }_{ 1 }^{ 5 } } \times \underset { 剩下的8個任意分成2組 }{ { C }_{ 4 }^{ 8 }\div 2 } =15\times 5\times 35=2625\\ \\ (3)7在第三輪被選取\Rightarrow 7為某組第三大者\\ \\ \underset { 從1到 6中選1個跟7一組\\\\ 再選2個排第2組\\\\ 其餘最後1組 }{ { C }_{ 1 }^{ 6 }{ C }_{ 2 }^{ 5 }{ C }_{ 3 }^{ 3 } }  \times  \underset { 從8到 12中選2個跟7一組\\\\ 再選2個排第2組\\\\ 其餘最後1組 }{ { C }_{ 2 }^{ 5 }{ C }_{ 2 }^{ 3 }{ C }_{ 1 }^{ 1 } } =60\times 30=1800\\ 由(1)到 (3)得知總共有700+2625+1800=5125}$

孫龐鬥智１

 這是2004年6月29日胡謅的一題難題，今天心血來潮google了一下，遺毒不少....

相傳這是1972年，銀雀山漢墓竹簡出土，孫臏兵法重見天日時的部
分內容。

話說鬼谷子有2個聰明絕頂的門徒,一個叫孫賓（後來改名孫臏）,
另一個叫龐涓。

有一天鬼谷子對他們2個人說：『齊有二童,年歲未明,相加曰甲,相
乘曰乙,汝可之否？』
（齊國有2個小孩子,不知道幾歲,只知道加起來的年紀是甲,相乘的
年紀是乙,那你們知不知道他們幾歲？）

龐涓曰：『無所不盡，有所不足，莫知是也。』
（不知道的東西太多,知道的條件太少,簡單講：不知啦！）

孫賓合（答）曰：『願聞其詳。』（這不用翻了吧？）

鬼谷子：『附耳過來。』（這也不用翻了吧？）

於是鬼谷子悄悄告訴了龐涓甲是多少,又悄悄告訴了孫臏乙是多少

龐涓想了一會兒便笑說：『涓雖不才,賓也未勝。』
（我雖然不會,但孫賓也不會比我厲害到哪去！）

此時,孫賓反而笑說：『毋令人知之,令人知矣。』
（你不說,我不知道答案,你這樣說,我反而知道答案了！）

龐涓嚇了一跳：『汝豈勝乎？有待一絲』
（怎能讓你這樣就獲勝了,等我想一下）

曰：『察其四者……可以計生矣。』
（觀察這4句對答,……就能想出答案了！）

那答案是多少呢？

MathJax快速範本-多項式長除法

$$ \begin{aligned}

\begin{array}{r}2x^3+5x^2+\enspace x\enspace-\enspace2　　　　　　　\\x^{2}-2x+5 ) \overline {2x^5+\enspace x^4+\enspace x^3+21x^2+　　ax+\quad b}

\end{array}

\\ \underline{2x^{5}-4x^4+10x^3}\thinspace\quad　　　　　　　　　

\\5x^4-\enspace 9x^3+21x^2　　　　　　　

\\ \underline{5x^4-10x^3+25x^2}　　　　　　　

\\x^3-\enspace4x^2+\enspace ax　　　　

\\ \underline{x^3-\enspace 2x^2+\enspace 5x}　　　　

\\-2x^2+(a-5)x+ b\thinspace

\\ \underline{-2x^2+　4x　- 10}

\\ 0

\end{aligned} $$

MathJax快速範本-雜級數推導計算

 $\Large 令 \sum_{k=1}^{8}[(2k+1)\cdot 2^{k}]=S$

  $$\begin{equation}\begin{split}  &S=3×2^1+&5×2^2+7×2^3+......+17×2^8 \\  2&S= & 3×2^2+5×2^3+......+15×2^8+17×2^9 \\ \hline \\ (2)-(1) &S=17×2^9-&2×[2^2+2^3+......+2^8]-3×2^1 \\ &S=17×2^9-&2×(2^9-2^2)-6 \\ &S=15×2^9+&2 \end{split}\end{equation}$$

MathJax快速範本-輾轉相除法

$設 f(x)=x^5-x^3+2x^2-2x-4，g(x)=x^4+x^3+x^2+3x+2，\\ h(x) 為f(x)與g(x)的最高公因式且最高次項係數為1，則h(1) 與 h(2)的乘積為?$ 方法很多，本題比較適合用輾轉相除法(當兩式次方相近時最好用)

$$\begin{array}{c|l|l|c} x & x^5+0x^4-x^3+2x^2-2x-4 & x^4+~x^3+x^2+3x+2 & -1\\    &  x^5+x^4+x^3+3x^2+2x &  x^4-0x^3+x^2+2x &  \\ \hline -1 & 0x^5-x^4-2x^3-x^2-4x-4 & 0x^4+x^3+0x^2+x+2 & -1 \\  & 0x^5-x^4-x^3-x^2-3x-2 & 0x^4+x^3+0x^2+x+2 & \\ \hline & 0x^5+0x^4-x^3+0x^2-x-2 & & \end{array}$$  

$故最高公因式為h(x)=x^{3}+x+2$

 $故h(1)× h(2)=(1+1+2)(8+2+2)=48$

 修改後的版本

$$\left. \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { + x} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { - 1} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \\ \end{gathered} \right|\left. \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^5}}&{ + 0{x^4}}&{ - {x^3}}&{ + 2{x^2}}&{ - 2x}&{ - 4} \\ {{x^5}}&{ + {x^4}}&{ + {x^3}}&{ + 3{x^2}}&{ + 2x}&{} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ - {x^4}}&{ - 2{x^3}}&{ - {x^2}}&{ - 4x}&{ - 4} \\ {}&{ - {x^4}}&{ - {x^3}}&{ - {x^2}}&{ - 3x}&{ - 2} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{ - {x^3}}&{ + 0{x^2}}&{ - x}&{ - 2} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} \\ \end{gathered} \right|\left| \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^4}}&{ + {x^3}}&{ + {x^2}}&{ + 3x}&{ + 2} \\ {{x^4}}&{ + 0{x^3}}&{ + {x^2}}&{ + 2x}&{} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{x^3}}&{ + 0{x^2}}&{ + x}&{ + 2} \\ {}&{{x^3}}&{ + 0{x^2}}&{ + x}&{ + 2} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{} \end{array} \\ \end{gathered} \right.\left| \begin{gathered} \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { - 1} \end{array}} \\ \hfill \underline {\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ { - 1} \end{array}} \\ \hfill \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \\ \end{gathered} \right.$$

雙十字交乘語法範本

  $$\begin{align} 0x^4+{x^3} + 2\sqrt 3 {x^2} + 3x + \sqrt 3 -1 = 0 \\\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\\end{array} \require{cancel}\xcancel{　　　　} \begin{array}{*{20}{c}} { + a} \\ { + 1} \end{array}\require{cancel}\xcancel{　　　　}\begin{array}{*{20}{c}} { + 1} \\ {\sqrt 3 - 1} && \end{array} \\ \left\{ \begin{gathered} a + 0 + \sqrt 3 - 1 = 2\sqrt 3 \\ a(\sqrt 3 - 1) + 1 = 3 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow a = \sqrt 3 + 1 \\ (x + \sqrt 3 - 1)({x^2} + (\sqrt 3 + 1)x + 1) = 0 \\ \end{align}$$

也是一題規律題

$\large 設正數數列<a_n>的前n項之和為b_n(例b_2=a_1+a_2),$

$\large 而數列<b_n>的前n項之積為c_n(例c_2=b_1b_2)$

$\large 若對於正整數n皆滿足b_n+c_n=1。則數列<$$\Large \frac{1}{a_n}$$\large >中最接近2014的數是?$

1986AIME類題

$\large 有一個數列可以表示為$

$\large (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,.....)=(1,3,4,9,10,12,13,....)$

$\large=(3^0,3^1,3^1+3^0,3^2,3^2+3^0,3^+3^1,3^2+3^1+3^0,...)，求a_{103}=?$