１１０年中一中科學班計算證明題

 $\large 設a-b=mn=1~9則 \left\{\begin{matrix}A=10a+b=11b+10mn  \\ B=a+10b=11b+mn\end{matrix}\right.得A-B=9mn$

$\large 由輾轉相除法原理得知$

$\large gcd(A,B)可能是9mn,3mn,mn,...,其中9mn>3mn>mn,...$

$\large 若gcd(A,B)=9mn，B=11b+mn=9mnk(k為正整數),11b=mn(9k-1),k=5$

$\large 此時b=8,mn=2,a=10(不合);b=4,mn=1,a=5$

$\large 若gcd(A,B)=3mn，B=11b+mn=3mnk(k為正整數),11b=mn(3k-1),k=4$

$\large 此時b=mn,a=2mn<9,mn最大是4,A=84,B=48,gcd(A,B)=12$

$\large 其他情況最大公因數不會超過mn所以gcd(A,B)=12為最大$