MathJax快速範本-遞迴累加法

小明參觀蜜蜂生態館，館內陳列一個蜂房的藝術品，它的每個蜂窩(beehive)是正六邊形(hexagon)，而且由六根火柴棒(matches sticks)圍成。若第一層有一個蜂窩，第二層有兩個蜂窩，...，第n層有n個蜂窩，如下圖所示:

 

 

試問一個n層的蜂房共用多少根火柴棒?

 

 由上圖可以觀察出遞迴式 $$\begin{cases}a_1=6  \\ a_{n+1}-a_n=\color {red}{3(n+1+1)=3n+6} \end{cases}$$

 

 使用遞迴累加法

 

  $$\begin{align}  a_n-a_{n-1}&=3(n-1)+6 \\  a_{n-1}-a_{n-2}&=3(n-2)+6 \\ & \vdots  \\ & \vdots \\   a_2-a_1 & =3×1+6 \\ \hline \\ a_n-a_1 & =3\sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}6 \\  a_n &=3×\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}+6(n-1)+6 \\ & =\frac{3n(n-1)} {2}+6n \\ & =\frac{3n(n+3)} {2} \end{align}$$

方法二：直接觀察規律 會發現每一層是等差數列，公差是３

 

 

 

  $$\begin{align}  a_1 &=3×2 \\  a_2 &=3×(2+3) \\  a_3 &=3×(2+3+4) \\ & \vdots  \\ & \vdots \\  推測 a_n & =3×[2+3+4+...+(n+1)] \\  & =3\sum_{k=1}^{n}(k+1) \\  & =3\sum_{k=1}^{n}k+3\sum_{k=1}^{n}1  \\  &=3×\frac{n(n+1)}{2}+6n  \\ & =\frac{3n(n+3)} {2} \end{align}$$