三項和平方公式的運用

 

\( \begin{aligned}3. 　& 若　x=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)，則　x^4-2x^2+48x= & \\ \end{aligned} \)

\( x^2=2+3+6+2\sqrt{6}-2\sqrt{12}-2\sqrt{18}=11+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}\color{red}({\sqrt{2}+\sqrt{3}}) 關鍵的一步\)

\( x^2=11+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}\color{red}{(x+\sqrt{6})} 　化簡　　 x^2+1=2\sqrt{6}(1-x) \)

\( 平方　x^4-2x^2+1=24-48x+24x^2 \)

\( 移項　x^4-2x^2+48x=24x^2+24=24(12+2\sqrt{6}-2\sqrt{12}-2\sqrt{18})\)

\( 　　　=288+24\sqrt{6}-96\sqrt{3}-144\sqrt{2}\)